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voyez ici.
| Les images sont au format JPG peu compressé pour assurer une restitution de haute qualité.
Chacune des pages suivantes est constituée de 12 images réduites qui vous permettront d'afficher les images originales en 800x600. En raison de la taille de ces fichiers il est également possible d'afficher des images plus compressées, en 640x480. Ces dimensions constituent un compromis acceptable entre la qualité et la durée de chargement des images. Les fractales obtenues avec Fractint (sauf 3 pour des problèmes liés aux formules) ont été récemment redessinées au format 2048x1536 puis réduites en 800x600 et 640x480 en utilisant l'anti-aliasing pour améliorer leur rendu. Pour des raisons techniques seules les images obtenues avec les dernières versions de Fractal Orbits ont pu être redessinées mais il n'était pas possible de dépasser le format initial 1024x768. |
Les
pages de l'album
Ces images sont-elles des fractales ? |
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| Cette question est moins paradoxale qu'il y paraît à première vue. Pour prendre les deux
exemples classiques des ensembles de Julia et de Mandelbrot, il suffit à un mathématicien de
déterminer si un point appartient ou non à l'ensemble, et de lui affecter une couleur (le noir
dans les exemples des pages précédentes). Les autres points sont à l'extérieur et, en première approximation, ne l'intéressent pas. Toutefois ils sont porteurs d'une information supplémentaire : à partir de combien d'itérations la fonction diverge-t-elle pour les coordonnées de ce point ? Il est possible de donner à chaque point une couleur qui est fonction du nombre d'itérations nécessaires pour observer la divergence. En toute rigueur une palette continue de gris est suffisante. Toutefois l'image gagne en attrait, mais pas en information, en utilisant une palette de couleurs. Bien entendu le mathématicien cherchera à effectuer les calculs avec un nombre d'itérations suffisant pour que l'image utilise au mieux la résolution de l'écran. Avec un nombre d'itérations trop faible on risque de perdre des détails ; avec un nombre trop fort l'ordinateur passera plus de temps pour faire des calculs dont la précision sera illusoire compte tenu des capacités limitées d'affichage de l'écran. Toutefois, même en prenant ces précautions, l'image peut être trompeuse. Dans les pages précédentes on voit clairement de petits îlots qui paraissent séparés du corps principal de l'ensemble de Mandelbrot. Or les mathématiques nous apprennent que cet ensemble est connexe. Simplement les « fils » qui relient ces îlots au reste de l'ensemble sont trop fins pour apparaître sur l'image et on doit truquer celle-ci en élargissant artificiellement ces détails pour les mettre en évidence. Pourquoi peut-on s'interroger sur la nature fractale de certaines images présentées ? |
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 Un
premier point réside dans le choix des palettes de couleurs. Dans la mesure où il est possible de
répartir les couleurs en bandes successives, on fera apparaître dans l'image des structures
qui n'existent pas en tant que telles. En raffinant un peu plus on peut s'arranger pour que
les couleurs de ces diverses bandes croissent et décroissent de façon régulière (de façon
linéaire, sinusoïdale, logarithmique...) de part et d'autre d'une valeur de saturation ou de
luminosité maximale (ou minimale). Dans certaines conditions il pourra en résulter un effet de
pseudo-relief esthétique, mais sans rapport avec la réalité.Enfin, dernier point, la même séquence de couleurs peut se répéter plusieurs fois dans la palette : dans l'image, des points qui correspondent à des valeurs différentes peuvent donc avoir la même couleur. Ceci est une hérésie mathématique, même si le résultat est plaisant à l'oeil. Il est d'ailleurs fréquent qu'on déplace les limites d'une couleur pour mieux la faire coïncider avec une structure géométrique de l'image. Ou bien encore on peut décider que tous les points ayant une valeur au-dessus ou au-dessous d'une limite fixée arbitrairement seront de la même couleur (blanche, noire, bleue...). Dans toutes ces manipulations il y a perte ou déformation d'une partie de l'information strictement mathématique contenue dans l'image |
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| Une autre source de modifications réside dans le traitement mathématique de la fonction
utilisée. On peut, par exemple, limiter le nombre d'itérations de façon à ne pas
visualiser tous les détails de l'image pour la simplifier. Là encore c'est une manipulation
mathématiquement hérétique. On peut aussi modifier le test qui permet à l'ordinateur de détecter la divergence de la fonction. En reprenant encore les exemples familiers des ensembles de Julia et Mandelbrot, le test classique consiste à vérifier que |z|<=4 (pour Fractint |z| est le carré du module), mais on obtient parfois des résultats spectaculaires avec des valeurs plus faibles. Ceci conduit à exclure de l'ensemble certains points qui en font partie, nouvelle hérésie mathématique. Beaucoup d'autres traitements mathématiques très complexes sont possibles. |
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| Dans un certain nombre de cas l'auto-similarité qui caractérise les fractales est fortement limitée, voire absente de l'image finale en raison des méthodes évoquées ci-dessus. C'est pourquoi il me semblerait préférable de parler d'art graphique fondé sur les fractales plutôt que d'images fractales. Toutefois les seules modifications éventuelles sont des traitements algorithmiques s'appliquant à la totalité de l'image : anamorphoses ou rotations par exemple, anti-aliasing ou travail sur les palettes de couleurs. Dans certaines des pages qui suivent je montre les rendus très différents qu'il est possible d'obtenir ainsi à partir de la même image de base. | |
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Dernière mise à jour : 10/07/02 |
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