La découverte des fractales

 

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L'histoire des fractales commence avec Benoît Mandelbrot. Toutefois, dans la mesure où un certain nombre de choses étaient connues avant ses travaux, il faut les rappeler pour voir plus clairement en quoi a consisté son apport.
Il s'agit là d'un simple récit, incomplet, de seconde... ou troisième main, destiné à fournir quelques jalons à ceux qui découvriraient ce domaine. Dans certains cas, je ne possède pas les dates précises des travaux que j'évoque, et je remercie tous ceux qui pourraient m'aider à améliorer cet essai.

Ce qui suit n'est pas une histoire des fractales mais, de façon plus limitée, une histoire de leur découverte.

Ce qui était connu avant Mandelbrot
      On peut regrouper ces connaissances en trois domaines : les objets naturels, les figures géométriques et les théories mathématiques. Bien entendu cette distinction est largement artificielle, surtout pour les deux derniers groupes, mais elle simplifiera l'exposé.

Figures géométriques
Les premières figures fractales connues datent de la fin du XIXème siècle.
La poussière de Cantor est probablement la plus ancienne fractale décrite (1872 ?).



En 1890 Peano publiait sa célèbre courbe et, en 1891, c'était Hilbert qui publiait une courbe voisine, mais semble-t-il moins connue.
Courbe de Peano après 3 itérations
 Courbe de Hilbert après 4 itérations
     
La courbe de von Koch a été publiée en 1904 et le titre de l'article mérite d'être cité : « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire ».

von Koch
Le tamis de Sierpinski date de 1915 (merci à William Mcworter pour la date).

Sierpinski

Parenthèse sur l'origine de l'expression anglaise "Sierpinski gasket"

Cette expression est difficile à comprendre en dehors de son contexte. L'explication suivante est adaptée d'après Mandelbrot.

Considérons deux droites parallèles et un cercle tangent à ces deux droites. Construisons un nouveau cercle tangent à la fois aux droites et au premier cercle, et répétons l'opération un nombre (théoriquement) infini de fois. Cette opération laisse, entre chaque droite et le bord des cercles, des espaces vides (triangles semi curvilignes) dans lesquels on peut inscrire un petit cercle. Dans les espaces subsistant après cette opération, on peut inscrire une nouvelle génération de cercles plus petits tangents aux côtés des espaces... et ceci à l'infini. Cette construction est un « bourrage apollonien » ; la fractale obtenue ainsi avait évoqué à Mandelbrot l'image d'un joint de culasse (gasket) pour moteur avec un nombre infini de cylindres en ligne.

gasket

Il est évident que le tamis de Sierpinski est obtenu par une opération similaire portant sur des triangles, ce qui explique l'expression anglaise qui le désigne.

Objets naturels
      Pour illustrer la nature fractale de certains objets ou phénomènes naturels deux exemples suffiront.

Le premier est un texte remarquable tiré de la préface du livre Les atomes de Jean Perrin (1913). Ce texte étant assez long, je l'ai reproduit sur une page séparée. Benoît Mandelbrot le cite dans l'introduction de son livre Les objets fractals en signalant que ce texte eut une influence considérable sur les travaux de Norbert Wiener relatifs au mouvement brownien. Mandelbrot dit encore que l'oeuvre de Wiener a été sa principale source d'inspiration, mais que lui-même ne découvrit le texte de Perrin qu'après avoir commencé à rédiger son livre. Retenons de ce texte que certains colloïdes ont une structure fractale, et que les trajectoires des particules soumises au mouvement brownien sont également fractales.

Le deuxième exemple est particulièrement intéressant pour plusieurs raisons : la première est qu'il est plus concret ; la deuxième est qu'il est évoqué avec beaucoup de sagacité par Perrin, mais il ne semble avoir été étudié concrètement que par Richardson (1961), qui ignorait probablement le texte de Perrin ; enfin il a joué un rôle important dans les travaux de Mandelbrot.
Formulons le problème comme le fit ce dernier : Quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? La question est bien moins triviale qu'il y paraît. En effet une côte découpée présente des golfes et des promontoires. Chaque golfe est découpé à son tour en criques plus petites, et chaque promontoire en promontoires plus petits. On devine que la longueur mesurée va dépendre du niveau de détail qu'on décidera de prendre en compte.
Utilisons une carte générale de la France et arpentons la côte de la Bretagne avec des pas de 50 km (par exemple en utilisant un compas dont les pointes sont écartées d'un espace correspondant à 50 km). Nous obtenons une certaine longueur. Recommençons avec un écart de 10 km, puis de 1 km (en prenant des cartes de plus en plus détaillées). On peut prolonger le raisonnement avec des pas de 100 m sur une carte très détaillée, puis en passant sur le terrain, en supposant que le bord de la côte est parcouru par un homme, un petit chien, une fourmi. Á chaque fois on obtiendra une longueur plus grande, en fonction inverse du pas utilisé pour le parcours.
Quelle est donc la longueur réelle de cette côte ? La réponse mathématique peut être formulée ainsi : quelle est la fonction qui approxime le mieux les valeurs expérimentales, et vers quelle valeur cette fonction tend-elle quand le pas tend vers 0 ? Le mérite de Richardson est d'avoir trouvé empiriquement que la fonction est de la forme (dans Les objets fractals Mandelbrot écrit , mais ceci n'est pas cohérent avec la suite de son texte) où L est la longueur de la côte approximée pour un pas , l'exposant étant variable d'une côte à l'autre, mais étant toujours négatif et de valeur absolue très inférieure à 1. Dans ces conditions la fonction tend vers l'infini lorsque le pas tend vers 0.

La conséquence imparable est que la longueur de la côte de Bretagne est infinie, résultat apparemment paradoxal, mais qui avait été clairement affirmé par Perrin sans justification mathématique.

Mathématiques
Que savait-on enfin dans le domaine purement mathématique ? L'existence de fonctions sans dérivées était connue, mais elles étaient mal vues de nombreux mathématiciens qui n'étaient pas loin de les considérer comme des aberrations. D'un autre côté, le problème de la dimension des figures géométriques avait fait l'objet de travaux intéressants. On sait qu'un point a pour dimension 0 ; qu'une ligne a pour dimension 1 ; que la dimension d'une surface est 2 ; que celle d'un volume est 3. On parle dans ce cas de dimension euclidienne ou topologique.

Mais certains mathématiciens se sont aperçu qu'il existait des moyens plus sophistiqués pour définir la dimension d'un objet. Le travail fondamental est celui de Hausdorff (1919), approfondi par Besicovitch (1935). La dimension de Hausdorff-Besicovitch a joué ultérieurement un rôle capital dans le domaine des fractales.
Pour toutes les figures classiques le calcul de cette dimension aboutit sans surprise aux valeurs 1, 2, 3 bien connues de tous. Mais pour certaines figures il n'en va pas de même, et le résultat est surprenant. Dans beaucoup de cas, il n'est pas entier. Par exemple, quand on fait une itération pour construire la courbe de von Koch, on remplace chaque côté par 4 segments ayant chacun une longueur égale à 1/3 du côté initial. Faisons confiance aux mathématiciens : la dimension de Hausdorff-Besicovitch de cette courbe est log 4/log 3 = 1.2618... Celle de la poussière de Cantor est log 2/log 3 = 0.6309...

Enfin le dernier domaine des mathématiques que j'évoquerai est celui de l'itération des polynômes complexes, étudiée de façon indépendante par Julia (1918) et Fatou (1919-1920). Pour faire bref on peut dire que les ensembles de Julia sont les frontières des domaines de Fatou. Sauf cas particulier, les ensembles de Julia sont fractals et on peut admirer que Julia et Fatou aient pu en déterminer diverses propriétés sans un ordinateur graphique.

Il faudrait également citer tous les travaux sur la turbulence ou le chaos (en particulier Ruelle) qui recèlent de nombreux éléments fractals. Mais cette remarque aurait pu figurer aussi bien dans le paragraphe sur les objets naturels.

L'apport de Mandelbrot

L'émergence du concept de fractale
Tout ce qui précède était connu bien avant les travaux de Mandelbrot, mais il s'agissait d'éléments épars, correspondant parfois à des cas considérés comme des curiosités mathématiques, ou connus d'un petit nombre de spécialistes (cas des dimensions non topologiques). Peu d'attention avait été prêtée à ces connaissances et personne n'avait songé à rapprocher tous ces éléments.
Ce fut le mérite de Mandelbrot de faire ces rapprochements et de développer un domaine mathématique entièrement nouveau. Le terme self-similar apparaît, semble-t-il, pour la première fois en 1964 dans un rapport interne d'IBM (où Mandelbrot est chercheur) et dans le titre d'un article de 1965. Mais l'acte de baptême du mot fractal date de 1975, puisqu'il a été créé pour la première édition du livre Les objets fractals. Toutefois ce n'est pas ce livre qui donne le meilleur aperçu chronologique sur la découverte du concept de fractales.
Lorsqu'on lit la liste des publications de Mandelbrot depuis 1951 jusqu'à 1975, date de la publication de son livre en français, on est stupéfait par la diversité des domaines étudiés : bruit sur les lignes téléphoniques, théorie des jeux, linguistique, économie, cosmologie, turbulence... La multiplicité de ces domaines d'intérêt a certainement joué un rôle capital dans la genèse de sa découverte.
Mandelbrot raconte dans un entretien (Comment j'ai découvert les fractales - La Recherche : 1986) qu'en 1962 il s'intéressait aux problèmes mathématiques relatifs à la répartition des revenus, à la fluctuation des prix ou des cours en bourse. Les théories classiques estimaient que les fluctuations à court terme étaient dues à la spéculation (et étaient largement aléatoires) tandis que les fluctuations à long terme reflétaient les lois fondamentales de l'économie. Or, comme d'autres, Mandelbrot constatait que la répartition des fluctuations aléatoires ne suivait pas une loi normale. Il fit l'hypothèse qu'il n'y avait aucune différence de nature statistique entre les fluctuations à court et à long terme. Il put développer sur cette base un modèle mathématique permettant de simuler des chroniques boursières purement fictives, mais très réalistes.
Mandelbrot s'est ensuite intéressé au bruit sur les lignes de télécommunication, à la turbulence, à des problèmes de géophysiques tels que la longueur des côtes, les régimes hydrographiques des cours d'eau, mal décrits par les théories connues à l'époque... Dans tous les cas il était capable d'appliquer la même approche mathématique et il y retrouvait la notion d'homothétie interne.


Fractales, objets ou phénomènes concrets, probabilité
Le cas des erreurs de transmission sur les lignes reliant les ordinateurs permet de bien comprendre la démarche de pensée de Mandelbrot. Toute ligne de télécommunication est affectée par des fluctuations aléatoires constituant le bruit de fond. Celui-ci perturbe plus ou moins la transmission des messages. Le cas des lignes d'ordinateur est intéressant parce que l'information y circule sous forme de bits d'amplitude fixe. Si le bruit de fond reste en dessous d'une certaine valeur il ne perturbe pas le message. S'il fluctue au dessus ce ce seuil, certains bits pourront être altérés et passer de 0 à 1, ou de 1 à 0. L'examen des erreurs montre que celles-ci se produisent en rafales séparées par des intervalles calmes de durée variable. Quand on examine une rafale d'erreurs, on constate qu'elle est constituée de rafales plus petites séparées, elles aussi, par des intervalles sans erreur. Ces petites rafales peuvent être décomposées à leur tour de la même manière. Autrement dit on se trouve en face d'un phénomène aléatoire qui possède une certaine homothétie interne. Avec un peu d'imagination, ce phénomène linéaire constitué de points (les bits erronés) fait penser à une poussière de Cantor dont on aurait mélangé au hasard les diverses parties. Mandelbrot a étudié par quel procédé arithmétique on peut créer une poussière de Cantor aléatoire décrivant parfaitement la structure fractale des rafales d'erreurs sur les lignes informatiques.

Cet exemple permet de souligner deux caractéristiques importantes des travaux de Mandelbrot.
La première est que son objectif a été de créer un domaine mathématique nouveau destiné à décrire la structure d'objets et de phénomènes, naturels ou créés par l'homme. Ceci ressort très nettement du titre de son livre anglais The fractal geometry of Nature et de l'introduction de son livre français Les objets fractals :

« En somme, ce livre s'occupe, en premier lieu, d'objets très familiers, mais trop irréguliers pour tomber sous le coup de [la] géométrie classique : la Terre, la Lune, le Ciel, l'Atmosphère et l'Océan... »

« Bien que leur étude appartienne à des sciences différentes... les objets naturels en question ont en commun d'être de forme extrêmement irrégulière ou interrompue. Pour les étudier, j'ai conçu, mis au point et largement utilisé une nouvelle géométrie de la nature. »
La deuxième caractéristique est que pratiquement tous les modèles utilisés par Mandelbrot sont de nature probabiliste et constituent donc une extension des théories de la probabilité. Mandelbrot n'a pas abordé l'application du concept de fractales à des domaines déterministes avant 1979-80.
Il faut insister sur ces deux points car ils peuvent être sous-estimés, voire méconnus par les amateurs d'images fractales obtenues par itération de polynômes complexes (donc déterministes). En revanche Mandelbrot s'est impliqué dans les premiers travaux qui ont conduit aux images de synthèse de paysages utilisant les fractales.

C'est l'occasion de revenir sur la contribution importante de Mandelbrot au problème de la longueur des côtes dans l'article How long is the coast of Britain ? Statistical self-similarity and fractional dimension (Sciences, 155, 636-638 ; 1968). L'auteur part des résultats de l'article peu connu de Richardson. Là où ce dernier ne voyait dans sa formule qu'un exposant empirique , Mandelbrot interprète 1+ comme une dimension (au sens de Hausdorff et Besicovitch) et montre la nature fractale (le terme n'existait pas encore) des côtes. Ce travail semble avoir été à l'origine des recherches de Mandelbrot et de ses continuateurs sur l'utilisation des fractales pour obtenir des images de synthèse de paysages.

Qui a découvert l'ensemble de Mandelbrot ?
Ce qui suit s'inspire, mais pas exclusivement, du récit de Mandelbrot dans la 3ème édition de son livre Les objets fractals.

« [J'ai] eu le privilège d'enrichir la théorie de Fatou-Julia d'un nouveau volet, en proposant ce que Douady et Hubbard 1982 ont appelé "ensemble de Mandelbrot" M... j'ai procédé de façon honnie des théoriciens... je l'ai parcouru, contemplé, disséqué, grâce à l'équivalent étonnant de "microscope" qu'offre l'ordinateur... Images inoubliables, même quand les instruments primitifs de 1980... Je fis ce travail en 1979-1980... »
      Il y a un certain accord pour créditer Brooks et Matelski (1981) de la première image de M, mais quelques détails méritent d'être soulignés. Tout d'abord, la date de 1981 (1980 selon d'autres sources ; je n'ai pas consulté l'article original), qui permet à Mandelbrot de dire que ce travail est « en gros » contemporain du sien, est la date de publication des actes d'un colloque qui s'est tenu en réalité en 1978, donc avant le travail de Mandelbrot. Ce dernier affirme que le tracé flou de M publié à cette occasion a été réalisé par un ami informaticien des deux auteurs et que ceux-ci n'y ont guère attaché d'importance, contrairement à la démarche que Mandelbrot dit avoir utilisée.
Il est manifeste que la notion d'antériorité n'est pas claire dans cette histoire, mais ceci est-il très important ? La première image publiée n'est pas de Mandelbrot, même si c'est ce dernier qui a le plus utilisé les ressources graphiques des ordinateurs pour son étude.
Ce qui est sûr, en revanche, c'est que cet ensemble a été baptisé ensemble de Mandelbrot par Douady et Hubbard en 1982, car ceux-ci ignoraient l'article de Brooks et Matelski. Enfin c'est eux qui l'ont écrit pour la première fois sous sa forme canonique (itération du polynome complexe z^2+c). Ce qui est tout aussi sûr, c'est que les travaux sur M n'ont constitué qu'une part infime, même après 1980, des recherches de Mandelbrot sur les fractales.


Quelle définition pour les fractales ?
Mandelbrot insiste dans son livre sur le fait qu'il ne donnera qu'une définition empirique des fractales, aucune définition abstraite n'étant entièrement satisfaisante. Par exemple on dit que les fractales sont des objets à dimension fractionnaire (Mandelbrot lui-même a utilisé cette définition à certaines époques, et il dit, dans son entretien publié dans La Recherche, que le terme fractale a été choisi pour évoquer fractionnaire). Mais ceci est doublement faux. D'une part cette dimension peut être un nombre irrationnel ; d'autre part elle peut être un entier. Par exemple la dimension de la frontière de M est 2, tout comme les trajectoires browniennes (avec toutefois une différence importante : l'ensemble de Mandelbrot est contenu dans le plan et les trajectoires browniennes se développent dans un espace à 3 dimensions). Une définition moins mauvaise serait de dire que les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch (ou autre) est supérieure à la dimension topologique (euclidienne), mais il paraît, d'après Mandelbrot, que ceci exclut quelques objets qui sont réellement fractals.

Reste la notion d'homothétie interne.

Bibliographie

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Dernière mise à jour : 02/10/03