Dimension fractale

Comment mesure-t-on une longueur ou une surface ?

On peut encore dire, pour une règle suffisamment (infiniment) petite, que si je divise par n sa longueur, je multiplie par n le nombre de fois où je l'utilise pour mesurer la ligne. Ceci donne un rapport de n/n, soit 1 (c'est vrai aussi si j'écris log n/log n, remarque qui va nous servir bientôt) ; 1 est la dimension des figures linéaires (dimension euclidienne ou topologique... oui je sais que ces deux termes ne sont pas exactement équivalent, mais c'est sans importance ici).

Recommençons le raisonnement avec une surface. Prenons pour commencer un carré de côté L. Si j'utilise pour le mesurer un carré unité de côté l = L/2 il faudra 4 de ces carrés pour paver le carré initial. S'il a un côté de longueur l = L/4, il en faudra 16, etc. Si l'on divise le côté par un facteur n, on multiplie le nombre de carrés par n².

On ne peut pas utiliser dans ce cas le rapport n²/n pour mesurer la dimension d'une surface (on sait depuis Euclide qu'elle est égale à 2) car 4/2 = 2, mais 16/4 = 4 etc.
En revanche log n²/log n = 2 dans tous les cas. Vous pouvez le contrôler avec une calculatrice, mais si vous avez quelques souvenirs de mathématiques vous savez que log n²/log n = 2 (log n/log n). La même démarche s'applique pour les volumes où l'on aura log n³/log n = 3.
Prenons maintenant une surface quelconque, une carré unité quelconque et divisons-le successivement en utilisant un facteur quelconque n. Si la taille du carré n'est pas négligeable je ne peux pas paver de façon satisfaisante la surface et je vais en sous-estimer la valeur. Soit N le nombre de carrés inclus dans la surface. Plus le carré est petit, plus le pavage est satisfaisant. Il est évident que la surface estimée sera d'autant plus proche de la surface réelle que le carré unité sera petit. Là encore on peut démontrer que log N/log n tend vers 2 si la taille de l'unité tend vers 0 (c'est-à-dire si N tend vers l'infini).

Pourquoi tant de complication puisque le résultat donne la valeur de la dimension euclidienne (ou topologique) bien connue ? C'est parce que, si c'est vrai pour les objets de la géométrie classique, ce n'est pas vrai dans d'autres cas.

Prenons en effet le flocon de von Koch que j'ai décrit dans une autre page. Si je prend une règle de longueur L égale au côté du triangle initial et que je l'applique sur le flocon, je vais trouver une longueur 3 L (la règle sera contenue 3 fois puisqu'il y a 3 côtés dans le triangle initial). Si je prends maintenant une longueur L/3 je pourrai parcourir plus en détail le flocon et je devrai appliquer la règle 12 fois (3*4) pour faire le tour du flocon. Je refais l'expérience en divisant encore par 3 la dimension de la règle : je vais pouvoir l'appliquer sur des segments de plus en plus petits (ne pas oublier que le flocon présente un nombre de pointes infini de tailles de plus en plus petites). La règle devra être appliquée 48 (3*4*4) fois sur le pourtour. Autrement dit chaque fois que je divise la règle par 3 je multiplie par 4 le nombre de fois où je l'applique pour en faire le tour du flocon. On peut poursuivre le raisonnement à l'infini.

En vert une règle de longueur L En jaune une règle de longueur L/3 En bleu une règle de longueur L/9

On voit donc que la dimension de cette figure bizarre n'est pas de 1 comme pour toute figure géométrique linaire classique puisqu'on a un rapport de 4/3. La dimension fractale est donnée par le rapport log 4/log 3 et là, surprise, cette dimension vaut 1,26... Voila une figure dont la dimension euclidienne est 1 (c'est une ligne brisée) mais dont la dimension fractale est supérieure à 1 et, qui plus est, non entière.
Mandelbrot arrive au même résultat en utilisant une démarche un peu différente basée sur le rapport d'homothétie.

L'exemple du flocon de von Koch est facile à comprendre parce qu'il est simple et que le rapport reste constant dans le cas particulier que j'ai choisi. Les choses seraient légèrement plus complexes si j'avais pris une longueur initiale de la règle différente de la longueur d'un côté et si je la divisais par un diviseur arbitraire différent de 3. Mais dans tous les cas on trouverait que le rapport tend vers log 4/log 3 pour des règles de plus en plus petites.

Ceci conduit à la loi générale :

La dimension fractale D est définie, pour une figure linéaire, par

         log (L2/L1)
     D = -----------    lorsque S tend vers 0
         log (S1/S2)

où L1, L2 sont les longueurs mesurées de la courbe (en nombre d'unités), et S1, S2 sont les tailles de l'unité (c'est-à-dire l'échelle) utilisée pour les mesures.
ou encore, en utilisant le rapport d'homothétie

            log N
     D = ---------    où r est le rapport d'homothétie et N (en simplifiant)
         log (1/r)    le nombre "d'éléments" créés par l'opération d'homothétie.

Pour les figures habituelles formées de lignes droites ou courbes de la géométrie classique cette dimension vaut 1, comme leur dimension topologique, mais pour les courbes fractales la dimension topologique est bien de 1 tandis que la dimension fractale est supérieure à 1 et inférieure ou égale à 2 (2 ne peut pas être dépassé parce que c'est la dimension euclidienne des surfaces).

On peut généraliser ce résultat aux surfaces fractales qui ont une dimension euclidienne égale à 2 et une dimension fractale supérieure à 2.

Cette dimension est souvent présentée comme la dimension de Hausdorff-Besicovitch, ou du moins le contexte le suggère. En fait c'est faux et c'est vrai à la fois. Faux parce que l'expression générale de la dimension de Hausdorff-Besicovitch est très abstraite (elle est d'ailleurs souvent trop difficile à calculer pour être utilisée). Vrai parce que dans les fractales linéaires simples telles que la courbe de von Koch, les dimensions d'homothétie et de Hausdorff-Besicovitch sont égales.
Si j'ai bien compris les explications de Mandelbrot dans l'appendice mathématique de son livre "Les objets fractals", cette dimension semble être la dimension de recouvrement de Pontrjagin et Schnirelman :
soit un objet situé dans un espace à n dimensions qu'on recouvre par le plus petit nombre N possible de "boules" de rayon r. Sa dimension de recouvrement est log N/log (1/r) quand r tend vers 0 (j'ai légèrement modifié la formule pour éviter un rô dont affichage dépend des jeux de caractères disponibles).

La conclusion est que les explications proposées dans cette page (à l'exception du paragraphe précédent) donnent une fausse idée de simplicité sur une question en réalité très complexe. Il y a d'ailleurs d'autres approches de la notion de dimension qui ne sont pas toutes équivalentes et les travaux de Kolmogorov et Tihomirov relient la dimension de recouvrement à la notion d'entropie (ce qui évoquera probablement des souvenirs  - peut-être vagues - à certains) !